Question

12．已知點A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點C在直線l：x-2y+2=0上．
（1）求點C的坐標及S_△ABC；
（2）若直線l'過點C且與x軸、y軸正半軸分別交于P、Q兩點，則：
①求S_△POQ的最小值及此時l'的方程；
②求|PC|•|QC|的最小值及此時l'的方程．

Answer 1

分析 （1）利用中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、點斜式即可得出；聯立直線方程可得交點，利用直角三角形的面積計算公式即可得出．
（2）①設l'的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），則$\frac{4}{a}+\frac{3}{b}$=1≥2$\sqrt{\frac{12}{ab}}$，即可求S_△POQ的最小值及此時l'的方程；
②設直線的傾斜角為π-α，則|PC|•|QC|=$\frac{3}{sinα}•\frac{4}{cosα}$=$\frac{24}{sin2α}$，即可求|PC|•|QC|的最小值及此時l'的方程．

解答 解：（1）由題意可知，E為AB的中點，∴E（3，2），
∵k_AB=-1，∴k_CE=1，
∴CE：y-2=x-3，即x-y-1=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得C（4，3），
∴|AC|=|BC|=2，AC⊥BC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2$=2．
（2）①設l'的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），則$\frac{4}{a}+\frac{3}{b}$=1≥2$\sqrt{\frac{12}{ab}}$，
∴ab≥48，∴S_△POQ≥24，即S_△POQ的最小值為24，此時a=8，b=6，
∴l'的方程為$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}$=1；
②設直線的傾斜角為π-α，則|PC|•|QC|=$\frac{3}{sinα}•\frac{4}{cosα}$=$\frac{24}{sin2α}$，
當且僅當α=45°時，|PC|•|QC|的最小值為24，此時l'的方程為x+y-7=0．

點評 本題考查了中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、點斜式、直線的交點、直角三角形的面積計算公式，考查直線方程，考查了計算能力，屬于中檔題．