Question

17．已知函數f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到的函數圖象關于y軸對稱，則函數f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值之和為（　　）

• A． $-\sqrt{3}$
• B． -1
• C． 0
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由y=2cos（2x+φ）的圖象右移$\frac{π}{6}$個單位長度得到的圖象關于y軸對稱，求出φ的值，寫出f（x）的解析式，再求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大、最小值即可得出結論．

解答 解：由題意知，y=2cos（2x+φ），圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，
得到y=2cos[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]=2cos（2x-$\frac{π}{3}$+φ），
其圖象關于y軸對稱，
∴-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$；
f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為：f（0）=2cos$\frac{π}{3}$=1，
最小值為f（$\frac{π}{3}$）=2cosπ=-2，
∴最大值與最小值的和為f（0）+f（$\frac{π}{3}$）=-1．
故選：B．

點評 本題考查了余弦型函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．