Question

7．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB⊥BC，BC⊥CD，點E是線段AB上的一點，DE⊥平面PAB，△ADE，為等腰直角三角形，DE=1，PE=2，AB=4，PA=$\sqrt{5}$．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）若點Q是側棱PC上的一點，且四面體BCDQ與四面體ADEP的體積相等，求二面角C-BD-Q的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出DE⊥PE，PE⊥AE，由此能證明PE⊥平面ABCD．
（2）推導出QC=$\frac{1}{3}$PC，以E為原點，ED為x軸，EA為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-BD-Q的余弦值．

解答 證明：（1）∵DE⊥平面PAB，PE?平面PAB，
∴DE⊥PE，
∵△ADE為等腰直角三角形，DE=1，PE=2，PA=$\sqrt{5}$，
∴AE=2，∴AE²+PE²=PA²，∴PE⊥AE，
∵AE∩DE=E，∴PE⊥平面ABCD．
解：（2）∵AB=4，點Q是側棱PC上的一點，
且四面體BCDQ與四面體ADEP的體積相等，
∴QC=$\frac{1}{3}$PC，
以E為原點，ED為x軸，EA為y軸，EP為z軸，
建立空間直角坐標系，
B（0，-3，0），D（1，0，0），C（1，-3，0），
P（0，0，2），設Q（a，b，c），
則$\overrightarrow{QC}$=（1-a，-3-b，-c）=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{3}$（1，-3，-2）=（$\frac{1}{3}，-1，-\frac{2}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=\frac{1}{3}}\\{-3-b=-1}\\{-c=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，∴Q（$\frac{2}{3}$，-2，$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{DB}$=（-1，-3，0），$\overrightarrow{DQ}$=（-$\frac{1}{3}，-2，\frac{2}{3}$），
設平面BDQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DQ}=-\frac{1}{3}x-2y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-3，1，$\frac{3}{2}$），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角C-BD-Q的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{49}{4}}}$=$\frac{3}{7}$．
∴二面角C-BD-Q的余弦值為$\frac{3}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．