Question

18．已知雙曲線C與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦點，且它們的離心率之和為$\frac{24}{5}$，求雙曲線C的標準方程及其漸進線方程．

Answer 1

分析 由橢圓方程求得焦點坐標及離心率，即可求得雙曲線的離心率，設雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），則c=4，即可求得a，由b²=c²-a²=15，即可求得雙曲線C的標準方程及其漸進線方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點為（±4，0），a=5，b=3，c=4，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，…（2分）
∴雙曲線C的焦點為（±4，0），離心率為e=$\frac{24}{5}$-$\frac{4}{5}$=4，…（4分）
設雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），則c=4，
e=$\frac{c}{a}$=4，
∴a=1，則b²=c²-a²=15，
故雙曲線C：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{15}=1$，…（8分）
其漸進線方程為：y=$\sqrt{15}$x或y=-$\sqrt{15}$x．…（12分）

點評 本題考查橢圓及雙曲線標準方程及簡單幾何性質，考查雙曲線的漸近線方程，考查計算能力，屬于中檔題．