Question

13．曲線$\sqrt{2}$x²+y²=1與直線x+y-1=0交于P，Q兩點，M為PQ中點，則k_OM=（　　）

• A． -$\sqrt{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系得到M的坐標，代入斜率公式得答案．

解答 解：聯立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，得$（\sqrt{2}+1）{x}^{2}-2x=0$，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}$=$2（\sqrt{2}-1）$，${y}_{1}+{y}_{2}=2-（{x}_{1}+{x}_{2}）=2-2\sqrt{2}+2=4-2\sqrt{2}$，
∴M坐標為（$\sqrt{2}-1$，2-$\sqrt{2}$），
則k_OM=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．