Question

16．已知y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（1）求函數的對稱軸和對稱中心；
（2）求函數的單調增區間和單調減區間；
（3）若x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），求函數的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件根據正弦函數的對稱性，求得函數y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1的對稱軸和對稱中心．
（2）根據三角函數的單調性解答．
（3）根據x的取值范圍求得（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范圍，然后由正弦函數圖象的性質求其值域．

解答 解：（1）對于函數y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函數的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故函數的對稱中心是（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（2）對于函數y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
所以該函數的單調增區間是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
所以該函數的單調減區間是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（3）∵x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），
∴2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
∴y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1的值域是（-$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，$-\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了正弦函數圖象的對稱性，單調性，屬于基礎題，熟記函數圖象性質即可解題．