Question

4．已知A，B是單位圓O上的兩點（O為圓心），∠AOB=120°，點C是線段AB上不與A、B重合的動點．MN是圓O的一條直徑，則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范圍是（　　）

• A． $[-\frac{3}{4}，0）$
• B． [-1，1）
• C． $[-\frac{1}{2}，1）$
• D． [-1，0）

Answer 1

分析 先根據條件畫出圖形，根據條件可求出$\frac{1}{2}≤|\overrightarrow{OC}|＜1$，并求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-1$，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$，而$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}$，帶入$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$并進行數量積的運算便可得到$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}=-1+{\overrightarrow{OC}}^{2}$，這樣便可得出$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的取值范圍．

解答 解：如圖，
∵OA=OB=1，∠AOB=120°；
∴O到直線AB的距離d=$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{2}≤|\overrightarrow{OC}|＜1$；
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}=（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}）$
=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}-（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）•\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^{2}$
=$-1+{\overrightarrow{OC}}^{2}$；
∴$-\frac{3}{4}≤\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}＜0$；
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的取值范圍為$[-\frac{3}{4}，0）$．
故選A．

點評 考查單位圓的定義，數形結合解題的方法，向量減法的幾何意義，向量數量積的運算，不等式的性質．