Question

2．已知雙曲線C：mx²+ny²=1，（m＞0，n＜0）的一條漸近線與圓x²+y²-6x-2y+9=0相切，則雙曲線C的離心率等于（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 求出圓的標準方程，求得圓心與半徑，利用雙曲線的漸近線和圓相切的等價條件建立方程得到a，b的關系即可得到結論．

解答 解：圓x²+y²-6x-2y+9=0的標準方程為（x-3）²+（y-1）²=1，
則圓心為M（3，1），半徑R=1，
由mx²+ny²=0，（m＞0，n＜0），
則雙曲線的焦點在x軸，則對應的漸近線為y=±$\frac{b}{a}$x，
設雙曲線的一條漸近線為y=$\frac{b}{a}$x，即ay-bx=0，
∵一條漸近線與圓x²+y²-6x-2y+9=0相切，
∴即圓心到直線的距離d=$\frac{丨a-3b丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
即|a-3b|=c，
平方得a²-6ab+9b²=c²=a²+b²，
即8b²-6ab=0，
則4b-3a=0，
則b=$\frac{3}{4}$a，平方得b²=$\frac{9}{16}$a²=c²-a²，
即c²=$\frac{25}{16}$a²，
則c=$\frac{5}{4}$a，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
故選：C．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，圓的標準方程，考查直線和圓相切的等價條件，考查學生的計算能力，屬于中檔題．