Question

6．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． 已知直線l的極坐標方程為ρ（sinθ-3cosθ）=0，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$  （t為參數），l與C相交于A，B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析 利用x=ρcosθ，y=ρsinθ將直線l方程化成普通方程，曲線C消去參數t化成普通方程，l與C相交于A，B兩點，聯立方程組，求解A，B坐標，利用兩點之間的距離公式求解|AB|即可．

解答 解：直線l的極坐標方程為ρ（sinθ-3cosθ）=0，即ρsinθ-3ρcosθ）=0
根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得：y-3x=0．
曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$  （t為參數），消去參數t，得：y²-x²=4
聯立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y-3x=0}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
即A：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$）
由兩點間的距離公式得：|AB|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程的求法和兩點間的距離公式的計算．屬于基礎題．