Question

15．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E在AB邊上，點F在BC邊上，
（Ⅰ）若點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．求證：A′D⊥EF．
（Ⅱ）當BE=BF=$\frac{1}{4}$BC時，求三棱錐A′-EFD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設條件知：A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，由此能夠證明A'D⊥面A'EF，從而得到A'D⊥EF；
（Ⅱ）由題意求得A′F=A′E=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進一步求出△A′EF的面積，又A′D是三棱錐D-A′EF的高線，可以算出三棱錐D-A′EF的體積，即為三棱錐A′-DEF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵邊長為2的正方形ABCD中，E、F是AB、BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使AC兩點重合于點A′，
∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，
∴A'D⊥面A'EF，
∵EF?面A'EF，∴A'D⊥EF；
 
（Ⅱ）解：∵BE=BF=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$，∴A′F=A′E=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△A′EF中，可得A′G=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{34}}{4}$，
∴△A′EF的面積為${S}_{△A′EF}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{34}}{4}=\frac{\sqrt{17}}{8}$，
∵A′D⊥平面A′EF．
∴A′D是三棱錐D-A′EF的底面A′EF上的高線，
因此，三棱錐A′-DEF的體積為：${V}_{A′-DEF}=\frac{1}{3}•{S}_{△A′EF}•A′D$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{17}}{8}×2=\frac{\sqrt{17}}{12}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，注意翻折變換中數量關系的變化，合理地進行等價轉化，是中檔題．