Question

10．下列說法正確的個數為（　　） 
①若$\vec a∥\vec b$，則一定存在實數λ，使$\vec a=λ\vec b$；
②已知空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，若滿足2$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}-y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$中x-y+z=2，則P與A，B，C共面；
③如圖1，在平行六面體中，以A為端點的三條棱長都為1，且彼此的夾角都為60°，那么AC₁=$\sqrt{3}$；
④如圖2，A∈α，B∈β，AC⊥l，BD⊥l，若AC=BD=CD=1，AB=2，則α，β所成二面角為60°．

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 舉例說明①錯誤；由共面向量基本定理說明②正確；分別利用空間向量求解AC₁與α，β所成二面角說明③④錯誤．

解答 解：①由向量共線定理可知，當$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$時不成立，故①錯誤；
②由2$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}-y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，得$\overrightarrow{OP}=\frac{x}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{y}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{z}{2}\overrightarrow{OC}$，
∵x-y+z=2，∴$\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$，則P與A，B，C共面，故②正確；
③∵${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}）^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}+{\overrightarrow{C{C}_{1}}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{C{C}_{1}}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}$
=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°
=6．∴|AC₁|=$\sqrt{6}$，故③錯誤；
④設二面角α-l-β的平面角為θ，AC⊥l，BD⊥l，
AC=BD=CD=1，AB=2，∴${\overrightarrow{AB}}^{2}=（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}）^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}$$+{\overrightarrow{DB}}^{2}+$$2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{DB}|cosθ$，
∴4=1+1+1-2cosθ，解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴α，β所成二面角為120°，故④錯誤．
∴正確命題的個數是1個．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了空間向量在求解問題中的應用，是中檔題．