Question

15．已知函數f（x）=m-|x-1|-|x+1|．
（1）當x∈（1，+∞）時，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若二次函數y=x²+2x+3與函數k的圖象恒有公共點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去絕對值，分x＜-1，-1≤x≤1，x＞1討論，再解一次不等式，求并集即可；
（2）求得二次函數的最小值，以及分段函數的最大值，由恒有公共點，可得m的不等式，解得m的范圍．

解答 解：（1）當m=5 時，f（x）=5-|x-1|-|x+1|
=$\left\{\begin{array}{l}{5+2x，x＜-1}\\{3，-1≤x≤1}\\{5-2x，x＞1}\end{array}\right.$，…3分
由f（x）＞2得不等式的解集為{x|-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$}．…5分
（2）由二次函數y=x²+2x+3=（x+1）²+2，
該函數在x=-1 取得最小值2，
因為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{m+2x，x＜-1}\\{m-2，-1≤x≤1}\\{m-2x，x＞1}\end{array}\right.$，在x=-1 處取得最大值m-2，…8分
所以要使二次函數y=x²+2x+3與函數y=f（x）的圖象恒有公共點，
只需m-2≥2，即m≥4．…10分

點評 本題考查分段函數的運用：解不等式，注意運用分類討論，考查恒成立思想的運用，考查運算能力，屬于中檔題．