Question

7．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁：x²+2y²=2，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sinθ+cosθ}}$．
（Ⅰ）寫出曲線C₁的參數方程，曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設M是曲線C₁上一點，N是曲線C₂上一點，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角代換直接寫出曲線C₁的參數方程，利用極坐標與直角坐標方程的互化求解曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，以及三角函數的最值求解即可．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α是參數），
方程$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sinθ+cosθ}}$可以化為$\sqrt{2}ρ{sin^2}θ+ρcosθ=4$，
曲線C₂的普通方程是$x+\sqrt{2}y-4=0$；…（5分）
（Ⅱ）因為曲線C₂是直線，所以|MN|的最小值就是M到直線C₂距離的最小值，
設$M（\sqrt{2}cosα，sinα）$，則M到直線C₂距離是$d=\frac{{|{\sqrt{2}sinα+\sqrt{2}cosα-4}|}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{|{2sin（α+\frac{π}{4}）-4}|}}{{\sqrt{3}}}≥\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
當且僅當$θ=2kπ+\frac{π}{4}（k∈{Z}）$時取等號，則|MN|的最小值是$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$．…（10分）

點評 本題考查極坐標以及參數方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式公式的應用，三角函數的最值的求法，考查計算能力．