Question

17．已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且B=2A，則$\frac{c}{b-a}$的取值范圍是（　�。�

• A． （0，3）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 先由正弦定理把所求化為$\frac{sinC}{sinB-sinA}$，利用三角函數恒等變換的應用化簡可得2cosA+1，進而B=2A和三角形的內角和求得A的范圍，進而根據余弦函數的單調性求得其取值范圍．

解答 解：由正弦定理可知$\frac{c}{b-a}$=$\frac{sinC}{sinB-sinA}$=$\frac{sin（B+A）}{sinB-sinA}$=$\frac{sin3A}{sin2A-sinA}$=$\frac{2sin\frac{3A}{2}cos\frac{3A}{2}}{2cos\frac{3A}{2}sin\frac{A}{2}}$=$\frac{sin\frac{3A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$=$\frac{sin\frac{A}{2}cosA+2co{s}^{2}\frac{A}{2}sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$=2cosA+1，
∵A+B+C=180°，B=2A，
∴3A+C=180°，A=60°-$\frac{C}{3}$＜60°
∴0＜A＜60°
∴$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
則2＜2cosA+1＜3．
故$\frac{c}{b-a}$的取值范圍是：（1，2）．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理的應用．解題的思路就是通過把邊的問題轉化成角的問題，然后利用三角函數的基本性質來解決問題，考查了轉化思想，屬于中檔題．