Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=a^x-1．其中a＞0且a≠1．
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數可得f（2）+f（-2）=0；
（2）設x＜0，則-x＞0；從而由f（x）=-f（-x）求解析式；
（3）分a＞1與0＜a＜1討論函數的單調性，從而解不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（2）+f（-2）=0；
（2）設x＜0，則-x＞0；
則f（x）=-f（-x）
=-（a^-x-1）
=1-a^-x；
故f（x）=

ax-1，x≥0 1-a-x，x＜0

；
（3）若a＞1，則f（x）在[0，+∞）上是增函數，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）是R上的增函數，
∴由f（x）＞0=f（0）解得，
x＞0；
若0＜a＜1，則f（x）在[0，+∞）上是減函數，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）是R上的減函數，
∴由f（x）＞0=f（0）解得，
x＜0．

點評：本題考查了函數的奇偶性的應用，同時考查了分段函數的單調性及應用，屬于中檔題．