Question

一個多面體的三視圖及直觀圖如圖所示，M、N分別是A₁B、B₁C₁的中點．
（1）求證：MN⊥平面A₁BC；
（2）求異面直線AM和CA₁所成的角；
（3）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）根據線面垂直的判定定理即可證明MN⊥平面A₁BC；
（2）根據異面直線所成角的定義即可求異面直線AM和CA₁所成的角；
（3）利用向量法即可求二面角A-A₁B-C的大小．

解答： 解：由三視圖可知，在這個多面體的直觀圖中，AA₁⊥平面ABC．
且AC⊥BC，AC=BC=CC₁=a…（1分）
（1）連結AC₁，AB1，因為BC⊥平面ACC₁A₁，所以BC⊥AC₁…（2分）
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁
又因為BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC…（3分）
由矩形性質得，AB₁過A₁B的中點M，
在△AB₁C₁中，由中位線性質得MN∥AC₁，
得MN⊥平面A₁BC…（4分）
（2）由題意CB，CA，CC₁兩兩垂直，故以C為原點，CB，CA，
CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
又AC=BC=CC₁=a，則B（a，0，0）B₁（a，0，a），A（0，a，0），
C（0，0，0），C₁（0，0，a），…（5分）
A₁（0，a，a），則M(

a

2

，

a

2

，

a

2

)∴

AM

=(

a

2

，-

a

2

，

a

2

)，

CA1

=(0，a，a)∴

AM

•

CA1

=0…（7分）
∴異面直線AM和CA₁所成的角為90°…（8分）
（3）AB中點E的坐標為（

a

2

，

a

2

，0)

AC1

=(0，-a，a)，易知

CE

=(

a

2

，

a

2

，0)為平面AA₁B的法向量．
又AC₁⊥平面A₁BC，故

AC1

為平面A₁BC的法向量…（10分）
設二面角A-A₁B-C為θ，則
|cosθ|=|cos＜

CE

，

A1C

＞|=|

CE • AC1

| CE || AC1 |

|=|

- a2 2

2 2 a× 2 a

|=

1

2

…（12分）
由題意可知，θ為銳角，所以θ=60°，即二面角為A---A₁B---C為60°…（13分）

點評：本題主要考查空間角的求解，要求熟練掌握異面直線所成的角以及空間二面角的求解．