Question

已知橢圓C₁和拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點，從它們每條曲線上至少取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	5	- 2	4	2 2	6 2
y	2 5	0	-4	3 2	- 1 2

（Ⅰ）求C₁和C₂的方程；
（Ⅱ）過點S（0，-

1

3

）且斜率為k的動直線l交橢圓C₁于A、B兩點，在y軸上是否存在定點D，使以線段AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出D的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），由題意知C₂：y²=4x．設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），把點（-

2

，0），（

6

2

，-

1

2

）代入得

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得C₁的方程．
（Ⅱ）設動直線l的方程為：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

-

16

9

=0，由此利用韋達定理結合已知條件能推導出在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，點M的坐標為（0，1）．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓C₁的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
拋物線C₂的方程為：y²=2px（p≠0），
從已知中所給四點的坐標可得：點（-

2

，0）一定在橢圓上，
∴（4，-4），（5，2

5

）點一定在拋物線上，
∴2p=4，即拋物線C₂的方程為：y²=4x，
則（

6

2

，-

1

2

）也在橢圓上，
故

2 a2 =1 6 4 a2 + 1 4 b2 =1

，
解得：

a2=2 b2=1

，
故橢圓C₁的方程為：

x2

2

+y2=1，
（Ⅱ）設動直線l的方程為：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

-

16

9

=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=-

16

9(2k2+1)

，
假設在y上存在定點M（0，m），滿足題設，
則

MA

=（x₁，y₁-m），

MB

=（x₂，y₂-m），

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）
=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x₁x₂+（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）-m（kx₁-

1

3

+kx₂-

1

3

）+m² 
=（k²+1）x₁x₂-k（

1

3

+m）（x₁+x₂）+m²+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k（

1

3

+m）•

4k

3(2k2+1)

+m²+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

，
由假設得對于任意的k∈R，

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+m-15=0

，
解得m=1．
因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，點M的坐標為（0，1）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．