Question

給定拋物線C：y²=4x，過點A（-1，0）的斜率為k的直線與C相交于M，N兩點．
（1）MN的中點在直線x=3上，求k的值；
（2）折

AM

=λ

AN

，k∈[

2

2

，

6

3

]，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直線MN的方程為：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與拋物線方程聯立k²x²+（2k²-4）x+k²=0，k≠0．利用根與系數的關系、中點坐標公式即可得出．
（2）利用

AM

=λ

AN

，可得x₁+1=λ（x₂+1），利用根與系數的關系可得x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1聯立．化為k2=

4λ

(1+λ)2

，利用k∈[

2

2

，

6

3

]，即可得出．

解答： 解：（1）直線MN的方程為：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立

y=k(x+1) y2=4x

，化為k²x²+（2k²-4）x+k²=0，k≠0．
∴x₁+x₂=

4-2k2

k2

=2×3，x₁x₂=1．
解得k=±

2

2

．
（2）∵

AM

=λ

AN

，x₁+1=λ（x₂+1），
與x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1聯立．
可得k2=

4λ

(1+λ)2

，
∵k∈[

2

2

，

6

3

]，
∴

1

2

≤

4λ

(1+λ)2

≤

2

3

，
解得λ∈[3-2

2

，2-

3

]∪[2+

3

，3+2

2

]．
∴λ的取值范圍是[3-2

2

，2-

3

]∪[2+

3

，3+2

2

]．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、向量運算、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．