Question

函數y=f（x）為定義在R上的增函數，對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．當a＞0時，求滿足不等式f（ax²+2）+f（（-2a-1）x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），變形可得f（0）=0，再令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），由此可得函數為奇函數，
由f（x）的奇偶性與單調性，可將原不等式變形解得x的取值范圍．

解答： 解：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），則f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有0=f（x）+f（-x），可證得f（x）為奇函數；
因為f（x）在R上時增函數，又f（x）是奇函數，
∴不等式f（ax²+2）+f（（-2a-1）x）＜0可化為：f（ax²+2）＜-f（（-2a-1）x）=f（（2a+1）x），
即ax²+2＜（2a+1）x，
∴ax²-（2a+1）x+2＜0，
由于a＞0，且方程ax²-（2a+1）x+2=0的兩根為x=2或x=

1

a

，
∴當

1

a

＜2，即a＞

1

2

時，ax²-（2a+1）x+2＜0的解集為（

1

a

，2）；
當

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

時，ax²-（2a+1）x+2＜0的解集為（2，

1

a

）；

點評：本題考查函數的恒成立問題與抽象函數的應用，關鍵是用賦值法求出f（0），進而來判斷函數的奇偶性．