Question

已知等差數列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數列，若a₁=1，S_n是數列{a_n}前n項的和，則

2Sn+16

an+3

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由等比中項的性質、等差數列的通項公式列出方程求公差d，代入等差數列的通項公式、前n項和公式求出a_n、S_n，代入

2Sn+16

an+3

利用分離常數法化簡后，利用基本不等式求出式子的最小值．

解答： 解：因為a₁，a₃，a₁₃成等比數列，所以a32=a1a13，
又a₁=1，所以（1+2d）²=1×（1+12d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
則

2Sn+16

an+3

=

2n2+16

2n+2

=

n2+8

n+1

=

(n+1)2-2(n+1)+9

n+1

=(n+1)+

9

n+1

-2≥2

(n+1)× 9 n+1

-2=4，
當且僅當n+1=

9

n+1

時取等號，此時n=2，且

2Sn+16

an+3

取到最小值4，
故答案為：4．

點評：本題考查了等差數列的通項公式、前n項和公式，等比中項的性質，基本不等式求最值，解題的關鍵是利用分離常數法化簡式子，湊出積為定值．