Question

已知函數f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=λ•3^ax-4^x定義域[0，1]．
（1）求a的值；
（2）若函數g（x）在[0，1]上是單調遞減函數，求實數λ的取值范圍；
（3）若函數g（x）的最大值為

1

2

，求實數λ的值．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由條件f（a+2）=18建立關于a的等量關系，求出a即可；
（2）將（1）的a代入得g（x）=λ•2^x-4^x，g（x）在區間[0，1]上是單調遞減函數，可利用函數單調性的定義建立恒等關系，分離出λ，求出2^x₂+2^x₁的最值即可．
（3）設2^x=t，原題轉化為y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]最大值為

1

2

，求實數λ的值．對λ分類討論，求出在區間[1，2]上的最大值，使其等于

1

2

，解出λ即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=3^x，f（a+2）=18，
∴3^a+2=18，
∴3^a=2，
∴a=log₃2
（2）此時g（x）=λ•2^x-4^x
設0≤x₁＜x₂≤1，因為g（x）在區間[0，1]上是單調減函數，
所以g（x₁）-g（x₂）=（2^x₂-2^x₁）（-λ+2^x₂+2^x₁）≥0成立，
∵2^x₂-2^x₁＞0，
∴λ≤2^x₂+2^x₁恒成立由于2^x₂+2^x₁≥2⁰+2⁰=2，
所以實數λ的取值范圍是λ≤2．
（3）∵函數f（x）=λ•2^x-4^x的定義域為[0，1]，最大值為

1

2

，
由（2）知，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]，
∴對稱軸方程為t=

λ

2

，
①當

λ

2

＜1時，y=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

在[1.2]是減函數，
∴當t=1時，y取最大值ymax=-（1-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

3

2

．
②當1≤

λ

2

≤2時，當t=

λ

2

時，y取最大值y_max=-（

λ

2

-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=±

2

2

，（舍）
③當

λ

2

＞2時，當t=2時，y取最大值y_max=-（2-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

9

4

（舍）
綜上所述，實數λ的值為

3

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數恒成立問題，屬于中檔題．