Question

10．已知函數f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}}$）+cos2x+$\frac{1}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）單調遞增區間；
（2）求f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將已知函數解析式轉化為正弦函數，然后求其單調遞增區間；
（2）根據（1）中正弦函數的自變量的取值范圍來求函數的最值．

解答 解：（1）f（x）=cosxsin（x-$\frac{π}{6}}$）+cos2x+$\frac{1}{4}$
=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）+cos2x+$\frac{1}{4}$
=-$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+cos2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{3}{4}$cos2x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴f（x）單調遞增區間是[kπ-$\frac{5π}{3}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）．
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]，得
2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{4}$≤f（x）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此，f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]上的最大值和最小值分別為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了三角函數中的恒等變換應用．利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．