Question

設橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則|AF₂|+|BF₂|的最大值為（　　）

• A、5
• B、3
• C、4
• D、8

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意方程求得橢圓的半焦距，結合橢圓定義求得|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=8，再求出當AB垂直于x軸時的最小值，則|AF₂|+|BF₂|的最大值可求．

解答： 解：由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得a=2，b=

3

，c=

a2-b2

=1，
由題意：|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=8，
∵當且僅當AB⊥x軸時，|AB|取得最小值，
把x=-1代入

x2

4

+

y2

3

=1，解得：y=±

3

2

，
∴|AB|_min=3，
∴|AF₂|+|BF₂|的最大值為8-3=5．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓的簡單幾何性質，關鍵是明確當AB垂直于x軸時焦點弦最短，是基礎題．