Question

若橢圓的中心在原點，一個焦點為（0，2），直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為（　　）

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  20

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  8

  +

  y2

  12

  =1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意設出橢圓方程，和直線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，然后利用根與系數關系求解．

解答： 解：∵橢圓的中心在原點，一個焦點為（0，2），
則a²-b²=4，
∴可設橢圓方程為

y2

b2+4

+

x2

b2

=1，
聯立

y=3x+7 y2 b2+4 + x2 b2 =1

，得（10b²+4）y²-14（b²+4）y-9b⁴+13b²+196=0，
設直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴y1+y2=

14(b2+4)

10b2+4

=2．
解得：b²=8．
∴a²=12．
則橢圓方程為：

x2

8

+

y2

12

=1．
故選：D．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了橢圓方程的求法，涉及直線與圓錐曲線關系問題，常采用一元二次方程根與系數的關系求解，是中檔題．