Question

如圖為函數(shù)f（x）=

x

x2+1

的部分圖象，ABCD是矩形，A、B在圖象上，將此矩形（AB邊在第一象限）繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，求出AB=|x_A-x_B|，可得旋轉(zhuǎn)體的體積，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值．

解答： 解：由題意f/(x)=

-(x+1)(x-1)

(x2+1)2

=0得x=1為極大值點(diǎn)，且f(1)=

1

2

，
設(shè)A、B的縱坐標(biāo)為k(0＜k＜

1

2

)，則由

x

x2+1

=k得kx²-x+k=0，xA+xB=

1

k

，x_A•x_B=1，
所以AB=|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xA•xB

=

1 k2 -4

，
所以V=πk2•

1 k2 -4

=π

k2-4k4

=2π

-(k2- 1 8 )2+ 1 64

≤

π

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=

2

4

時取“=”，此時△＞0，故旋轉(zhuǎn)體體積的最大值為

π

4

．
故答案為：

π

4

．

點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，正確求旋轉(zhuǎn)體的體積是關(guān)鍵．