Question

已知雙曲線C：x²-

y2

3

=1，直線l：y=mx-m+

3

（m∈R），直線l與雙曲線C有且只有一個公共點，則m的所有取值個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出直線恒過定點P（1，

3

），再由雙曲線x²-

y2

3

=1的漸近線方程為：y=±

3

x，結合雙曲線的性質與圖形可得過定點P（1，

3

）與雙曲線有且只有一個公共點的直線的個數．

解答： 解：直線l：y=mx-m+

3

（m∈R），即為
m（x-1）=y-

3

，恒過定點P（1，

3

），
雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x，
則P在漸近線y=

3

x上，
則過P作與漸近線y=-

3

x平行的直線，與雙曲線只有一個交點；
過P作與x軸垂直的直線與雙曲線只有一個交點，但m不存在．
則m的所有取值個數為1．
故選A．

點評：本題以雙曲線為載體，主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了雙曲線的幾何性質．