Question

圓C：x²+y²=8內一點P（-1，2），過點P的直線l的傾斜角為α，直線l交圓于A，B兩點．
（1）求當α=

3

4

π時，弦AB的長；
（2）當弦AB被點P平分時，求直線l的方程；
（3）在（2）的情況下，已知直線l′與圓C相切，并且l′⊥l，求直線l′的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）由直線l的傾斜角的正切值，求出直線l的斜率，由P坐標與斜率即可寫出AB的方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線AB的距離d，再由半徑r，利用垂徑定理及勾股定理即可求出弦AB的長；
（2）當弦AB被點P平分時，此時過P的直徑所在的直線與弦AB所在的直線垂直，由圓心與P的坐標求出過P直徑所在直線的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線l的斜率，由P的坐標與求出的斜率寫出直線l的方程即可．
（3）若l′⊥l，則l′的斜率為-2，設l′的方程為2x+y+C=0，結合直線l′與圓C相切，可得：圓心（0，0）到l′距離等于半徑，進而求出直線l′的方程．

解答： 解：（1）由直線l的傾斜角為a=

3

4

π，得到直線l斜率為-1，
則直線AB的解析式為y-2=-（x+1），即x+y-1=0，
∴圓心到直線AB的距離d=

1

2

=

2

2

，
又圓的半徑r=2

2

，
則弦AB的長為2

8-( 2 2 )2

=

30

（2）由圓的方程得到圓心坐標為（0，0），
∵P（-1，2），
∴過P的直徑所在直線的斜率為-2，
根據垂徑定理得到直線l方程斜率為

1

2

，
則直線l方程為y-2=

1

2

（x+1），
即x-2y+5=0．
（3）若l′⊥l，則l′的斜率為-2，
設l′的方程為2x+y+C=0，
由直線l′與圓C相切，
則圓心（0，0）到l′距離等于半徑，
即

|C|

5

=2

2

，
故C=±2

10

，
故l′的方程為2x+y+±2

10

=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時斜率滿足的關系，以及直線的點斜式方程，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，然后利用勾股定理來解決問題．