Question

6．2016年10月28日，經歷了近半個世紀風雨的南京長江大橋真“累”了，終于停下來喘口氣了，之前大橋在改善我們城市的交通狀況方面功不可沒．據相關數據統計，一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到280輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過30輛/千米時，車流速度為50千米/小時．研究表明，當30≤x≤280時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（1）當0≤x≤280時，求函數v（x）的表達式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時） f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）設v（x）=ax+b．利用x的范圍，列出方程組求解a，b，即可得到函數的解析式．
（2）求出車流量f（x）=v（x）•x的表達式，然后求解最大值即可．

解答 解：（1）由題意，得當0≤x≤30時，v（x）=50；
當30＜x≤280時，
設v（x）=ax+b．
由已知$\left\{\begin{array}{l}{280a+b=0}\\{30a+b=50}\end{array}\right.$，解得a=-0.2，b=56，
故函數v（x）的表達式為v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50，0≤x≤30}\\{-0.2x+56，30＜x≤280}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=x•v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50x，0≤x≤30}\\{（-0.2x+56）x，30＜x≤280}\end{array}\right.$，
當0≤x≤30時，f（x）≤1500．
當30＜x≤280時，f（x）=-0.2（x-140）²+3920，∴x=140，f（x）_max=3920
∴車流密度x為140，f（x）=x•v（x）可以達到最大為3920．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，二次函數的性質以及最值的求法，分段函數的應用，考查轉化思想以及計算能力．