Question

18．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=2，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求直線AC與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁交A₁B于O，則O為AB₁的中點，連接OD，結合D是AC的中點，可得OD∥B₁C，再由線面平行的判定得B₁C∥平面A₁BD；
（2）由AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，進一步求出$\overrightarrow{CA}$及平面A₁BD的一個法向量的坐標，由兩向量所成角的余弦值可得直線AC與平面A₁BD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連接AB₁交A₁B于O，則O為AB₁的中點，連接OD，
又D是AC的中點，∴OD∥B₁C，
又OD?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）解：∵AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
∵AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=2，
∴C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），
A₁（2，0，4），
則$\overrightarrow{CA}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DB}=（-1，2，0）$，$\overrightarrow{D{A}_{1}}=（1，0，4）$，
設平面A₁BD的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{m}=x+4z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，得$\overrightarrow{m}=（4，2，-1）$，
∴直線AC與平面A₁BD所成角的正弦值為sinθ=|$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{2×4}{2×\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}+（-1）^{2}}}$|=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，訓練了利用空間向量求線面角，是中檔題．