Question

17．已知數列{a_n}滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），a₃=5，其前7項和為42，設數列{b_n}是等比數列，b₁=a₁-1，b₂=a₄
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$，d_n=$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$，求數列{d_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$=n，d_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）數列{a_n}滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），∴數列{a_n}是等差數列，設公差為d．
∵a₃=5，其前7項和為42，∴a₁+2d=5，7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=42，
解得a₁=3，d=1．∴a_n=3+（n-1）=n+2．
設等比數列{b_n}的公比為q，∵b₁=a₁-1=2，b₂=a₄=6，∴q=3．
∴b_n=2×3^n-1．
（2）c_n=1+log₃$\frac{{b}_{n}}{2}$=n，
d_n=$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數列{d_n}的前n項和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、對數原式性質、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．