Question

12．在△ABC中，內角A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，已知a²，$\frac{3{b}^{2}}{4}$，c²成等差數列，則sinB的最大值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理、等差數列的定義和性質，以及基本不等式的應用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得0＜B≤$\frac{π}{3}$，再根據sinB在（0，$\frac{π}{3}$]單調遞增，求得sinB的最大值．

解答 解：△ABC中，∵a²，$\frac{3{b}^{2}}{4}$，c²成等差數列，∴$\frac{{3b}^{2}}{2}$=a²+c²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{6ac}$≥$\frac{1}{3}$，故cosB的最小值為$\frac{1}{3}$，
當且僅當a=c時，等號成立．
又 0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，∵sinB在（0，$\frac{π}{3}$]單調遞增，
故sinB的最大值為sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查余弦定理、等差數列的定義和性質，以及基本不等式的應用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，是解題的關鍵，屬于中檔題．