Question

3．若A={x|2^x≤（$\frac{1}{4}$）^x-2}，則函數y=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈A）的值域為[${2}^{-\frac{4}{3}}$，+∞）．

Answer 1

分析 求解出集合A，根據集合A的范圍就是函數y的定義域，可求函數y的值域．

解答 解：集合A={x|2^x≤（$\frac{1}{4}$）^x-2}，
∵2^x≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，
∴2^x≤2^4-2x，
解得：x≤$\frac{4}{3}$．
集合A={x|x≤$\frac{4}{3}$}．
函數y=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈A）是減函數，
故得當x=$\frac{4}{3}$取得最小值，即y=$（\frac{1}{2}）^{\frac{4}{3}}$=${2}^{-\frac{4}{3}}$
所以函數y=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈A）的值域為[${2}^{-\frac{4}{3}}$，+∞）；
故答案為：[${2}^{-\frac{4}{3}}$，+∞）；

點評 本題考查了指數冪的運算和值域的求法，屬于基礎題．