Question

9．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右焦點為F，過F作與x軸垂直的直線l與兩條漸近線相交于A、B兩點，P是直線l與雙曲線的一個交點．設O為坐標原點．若有實數m、n，使得$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，且$mn=\frac{2}{9}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{9}{8}$
• C． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 求出A、C坐標，然后求出P的坐標，代入雙曲線方程，利用$mn=\frac{2}{9}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右焦點為F（c，0），漸近線方程y=±$\frac{b}{a}$x，
則A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$）
代入$\overrightarrow{OP}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），
得P（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），代入雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$
得$\frac{[（m+n）c]^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{[（m-n）\frac{bc}{a}]^{2}}{{b}^{2}}$=1，由e=$\frac{c}{a}$，整理得：4e²mn=1，
由$mn=\frac{2}{9}$，
∴e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
故選A．

點評 本題考查雙曲線的基本性質，考查雙曲線的漸近線方程，離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．