Question

1．設D為不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{2x-y≥-1}\\{x-2y≤1}\end{array}}\right.$，表示的平面區域，點B（a，b）為第一象限內一點，若對于區域D內的任一點A（x，y）都有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤1$成立，則a+b的最大值等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 首先畫出可行域，利用數量積得到z=ax+by取最大值，分類得到點B（a，b）所滿足的關系式，進一步利用線性規劃知識求得a+b的最大值．

解答 解：∵點B（a，b）為第一象限內一點，∴a＞0，b＞0，
又區域D內的任一點A（x，y），
∴z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=ax+by$，
由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{2x-y≥-1}\\{x-2y≤1}\end{array}}\right.$作出可行域如圖：

化z=ax+by為y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由圖可知，當$-\frac{a}{b}≤-1$，即a≥b時，
直線y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$過A（1，0）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為a，則a≤1；
當$-1＜-\frac{a}{b}＜0$，即a＜b時，直線y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$過C（0，1）時，
直線在y軸上的截距最大，z有最大值為b，則b≤1．
∴點B（a，b）滿足$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤1}\\{b＞0}\\{a≥b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{0＜b≤1}\\{a＜b}\end{array}\right.$．
作出可行域如圖：

令t=a+b，化為b=-a+t，由圖可知，當直線b=-a+t過D（1，1）時，
直線在b軸上的截距最大，t有最大值為1+1=2．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查簡單的線性規劃，考查數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，是中檔題．