Question

18．（1）由數字1、2、3、4、5、6、7組成無重復數字的七位數，求三個偶數必相鄰的七位數的個數及三個偶數互不相鄰的七位數的個數；
（2）六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
①每組兩本；
②一組一本，一組二本，一組三本．

Answer 1

分析 根據題意，（1）若三個偶數必相鄰，分3步進行分析：①、先將1、3、5、7四個奇數數字全排列，排好后，有5個空位可選，②、將3個偶數數字看成一個整體，③、在5個空位中任選1個，安排3個偶數數字這個整體，由分步計數原理計算可得答案，
若三個偶數互不相鄰，分2步進行分析：①、先將1、3、5、7四個奇數數字全排列，有5個空位可選，②、在5個空位中，任選3個，安排三個偶數數字，由分步計數原理計算可得答案，
（2）①、由平均分組公司直接計算即可得答案；
②、分3步分析：先在6本書中先取出1本，作為一組，再在剩下的5本書中取出2本，作為一組，最后將余下的3本作為1組，由分步計數原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據題意，若三個偶數必相鄰，分3步進行分析：
①、先將1、3、5、7四個奇數數字全排列，有A₄⁴=24種情況，
排好后，有5個空位可選，
②、將3個偶數數字看成一個整體，考慮其順序，有A₃³=6種情況，
③、在5個空位中任選1個，安排3個偶數數字這個整體，有5種情況，
則三個偶數必相鄰的七位數有24×6×5=720個；
若三個偶數互不相鄰，分2步進行分析：
①、先將1、3、5、7四個奇數數字全排列，有A₄⁴=24種情況，
排好后，有5個空位可選，
②、在5個空位中，任選3個，安排三個偶數數字，有A₅³=60種情況，
則三個偶數互不相鄰的七位數有24×60=1440種；
（2）①根據題意，將6本書分成3組，每組2本，即將6本書平均分成3組，
有$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}$=15種分組方法；
②將6本書分成3組，一組一本，一組二本，一組三本，
在6本書中先取出1本，作為一組，有C₆¹種分發，
在剩下的5本書中取出2本，作為一組，有C₅²種分發，
將最后的3本作為1組，有C₃³種情況，
則共有$C_6^1C_5^2C_3^3$=60種分法．

點評 本題考查排列、組合的實際應用，（2）中注意平均分組與不平均分組公司的不同．