Question

20．已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈[-e，0）時，f（x）=ax-ln（-x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得當x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3．如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數的奇偶性求出函數f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出f（x）的最大值，得到關于a的方程，求出a的值并判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）設x∈（0，e]，則-x∈[-e，0），∴f（-x）=-ax-lnx，
又f（x）為奇函數，f（x）=-f（-x）=ax+lnx．
∴函數f（x）的解析式為$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{ax-ln（-x），x∈[-e，0）}\\{ax+lnx，x∈（0，e]}\end{array}}\right.$…（4分）
（Ⅱ）假設存在實數a符合題意，則當x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3，
當x∈（0，e]時，${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}$，
①當a=0時，${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}＞0$，
∴函數f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=1，不合題意，舍去．
②當$-\frac{1}{a}＜0⇒a＞0$時，由于x∈（0，e]．則${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}＞0$．
∴函數f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，則$a=-\frac{4}{e}$（舍去）．
③當$0＜-\frac{1}{a}＜e⇒a＜-\frac{1}{e}$時，
在$（0，-\frac{1}{a}）$上f′（x）＞0，在$（-\frac{1}{a}，e]$上f′（x）＜0．
則f（x）=ax+lnx在$（0，-\frac{1}{a}）$上遞增，$（-\frac{1}{a}，e]$上遞減，
∴$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{a}）=-1+ln（-\frac{1}{a}）=-3$，解得a=-e²，
④當$e≤-\frac{1}{a}⇒-\frac{1}{e}≤a＜0$時，由于x∈（0，e]．則${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}≥0$
∴函數f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函數，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，則$a=-\frac{4}{e}＜-\frac{1}{e}$（舍去）．
綜上可知存在實數a=-e²，使得當x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．