Question

8．已知拋物線y²=2px（p＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）有相同的焦點，點A是兩曲線的一個公共點，若|AF|=$\frac{5p}{6}$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{-5+\sqrt{51}}{2}$
• B． $\frac{-5+\sqrt{61}}{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點和準線方程，即有p=2c，再由拋物線的定義求得P的坐標，代入橢圓方程，結合離心率公式和a，b，c的關系，解方程即可得到離心率．

解答 解：∵拋物線y²=2px與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）有相同的焦點F，
∴橢圓的c=$\frac{p}{2}$，即p=2c．
設A的坐標為（m，n），則由拋物線的定義可得m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{6}p$，
解得m=$\frac{p}{3}$，n=±$\frac{\sqrt{6}}{3}p$，即有A（$\frac{2c}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}c$）．
代入橢圓方程可得$\frac{4{c}^{2}}{9{a}^{2}}+\frac{8{c}^{2}}{3{b}^{2}}=1$，
由離心率e=$\frac{c}{a}$，b²=c²-a²，
可得$\frac{4}{9}{e}^{2}$+$\frac{8{e}^{2}}{3（1-{e}^{2}）}$=1，
即為4e⁴-37e²+9=0，
即有e²=9（舍去）或$\frac{1}{4}$，
解得e=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查拋物線和橢圓的定義、方程和性質，主要考查離心率的求法，運用拋物線的定義求得P的坐標是解題的關鍵，是中檔題．