Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），圓F：（x-c）²+y²=c²，直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直且在x軸上的截距為$\frac{2}{3}$a，若圓F被直線l所截得的弦長為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 設直線l的方程為y=$\frac{a}{b}$（x-$\frac{2}{3}$a），利用圓F被直線l所截得的弦長為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，可得圓心F到直線l的距離為$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$=$\frac{c}{3}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設直線l的方程為y=$\frac{a}{b}$（x-$\frac{2}{3}$a），即ax-by-$\frac{2}{3}{a}^{2}$=0．
∵圓F被直線l所截得的弦長為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，
∴圓心F到直線l的距離為$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$=$\frac{c}{3}$，
∴$\frac{|ac-\frac{2}{3}{a}^{2}|}{c}$=$\frac{c}{3}$，∴（c-a）（c-2a）=0，
∴c=2a，∴e=2，
故答案為2．

點評 本題主要考查雙曲線的方程和應用，考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．