Question

13．設數列{a_n}（n=1，2，3…）的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{（{a}_{n}）^{2}-1}{{S}_{n}}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由條件S_n滿足S_n=2a_n-a₁，求得數列{a_n}為等比數列，且公比q=2；再根據a₁，a₂+1，a₃成等差數列，求得首項的值，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由S_n=2a_n-a₁，求得數列{b_n}的通項公式，根據等比數列前n項和公式，即可求得數列{b_n}的前n項和為T_n．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁，
當n≥2，S_n-1=2a_n-1-a₁，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
從而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
∵a₁，a₂+1，a₃成等差數列，即a₁+a₃=2（a₂+1），
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
∴數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，
數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知a₁=2，S_n=2a_n-a₁=2ⁿ⁺¹-2，
b_n=$\frac{（{a}_{n}）^{2}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{（{2}^{n}-1）（{2}^{n}+1）}{2（{2}^{n}-1）}$=2^n-1+$\frac{1}{2}$，
數列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1}{2}$n，
=2ⁿ+$\frac{1}{2}$n-1，
∴數列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=2ⁿ+$\frac{1}{2}$n-1．

點評 本題考查了錯位相減法、等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．