Question

1．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為-$\sqrt{2}$，周期為π，且圖象過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
（1）求函數f（x）的解析式，函數f（x）的單調遞增區間．
（2）若方程f（x）=a在$[0，\frac{7π}{12}]有兩根α、β，求α+β的值及a的取值范圍$．

Answer 1

分析 （1）根據三角函數的性質可得A+B=$2\sqrt{2}$，B-A=$-\sqrt{2}$，求出A，B．周期為π，求出ω，圖象過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）帶入求出φ，可得函數f（x）的解析式，將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）x∈[0，$\frac{7π}{12}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范圍．方程f（x）=a看成是函數y=f（x）與y=a有兩個交點，可得a的取值范圍．以及α，β的關系．即可求出α+β的值．

解答 解：（1）函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為-$\sqrt{2}$，
根據三角函數的性質，
可得：A+B=$2\sqrt{2}$，B-A=$-\sqrt{2}$，
∴A=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∵周期為π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2．
∴函數f（x）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵圖象過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$），則sinφ=-$\frac{1}{2}$，即φ=$-\frac{π}{6}+2kπ$，k∈Z．
|φ|$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{6}$．
則函數f（x）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（2x$-\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$．
得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴函數f（x）的單調遞增區間為[$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2））x∈[0，$\frac{7π}{12}$]時，
可得：2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，π]．
那么sin（2x$-\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
∴f（x）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，2$\sqrt{2}$]．
方程f（x）=a看成是函數y=f（x）與y=a有兩個交點，
由三角函數的圖象及性質可知：a的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）．
兩個交點分別為α，β，具有對稱性．x=$\frac{α+β}{2}$為x∈[0，$\frac{7π}{12}$]的一條對稱軸．
∴2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
可得對稱軸為2x=$\frac{2π}{3}$，
即：α+β=$\frac{2π}{3}$．
另解：利用特殊點：令2α$-\frac{π}{6}$=0，可得α=$\frac{π}{12}$，
另一個：2β$-\frac{π}{6}$=π，可得β=$\frac{7π}{12}$，
那么：α+β=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，確定f（x）的解析式和方程f（x）=a看成是函數y=f（x）與y=a有兩個交點是解決本題的關鍵．兩個交點分別為α，β，可以通過三角函數的圖象判斷，屬于中檔偏難的題．