Question

19．設O為△ABC的外心，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OM}$，則M是△ABC的（　　）

• A． 重心（三條中線交點）
• B． 內心（三條角平分線交點）
• C． 垂心（三條高線交點）
• D． 外心（三邊中垂線交點）

Answer 1

分析 設AB的中點為D，根據題意可得OD⊥AB．由題中向量的等式化簡得CM⊥AB，即CM在AB邊的高線上．同理可證出AM在BC邊的高線上，故可得M是三角形ABC的垂心．

解答 解：在△ABC中，O為外心，可得OA=OB=OC，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OC}$
設AB的中點為D，則OD⊥AB，$\overrightarrow{CM}$=2$\overrightarrow{OD}$，
∴CM⊥AB，可得CM在AB邊的高線上．
同理可證，AM在BC邊的高線上，
故M是三角形ABC兩高線的交點，可得M是三角形ABC的垂心，
故選：C

點評 本題給出三角形中的向量等式，判斷點P是三角形的哪一個心．著重考查了向量加法法則、三角形的外接圓性質和三角形“五心”的判斷等知識點，屬于中檔題．