Question

14．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）推導出a_n+1+1=2（a_n+1），從而{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{{2}^{n}-1}{2•{2}^{n}-1-1}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{2}$，能$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{2}$（n∈N^*）．

解答 （本小題10分）
解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），…（3分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$．
∴數列{a_n}的通項公式為${a}_{n}={2}^{n}-1$．…（5分）
證明：（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{{2}^{n}-1}{2•{2}^{n}-1-1}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{2}$，n=1，2，…，n，…（8分）
∴：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{2}$（n∈N^*）．   …（10分）

點評 本題考查數列通項公式的求法，考查數列不等式的證明，考查運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．