Question

8．已知函數f（x）=alnx-x²+1．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為4x-y+b=0，求實數a和b的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若a＜0，且對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（1）的值，求出a的值，結合切線方程求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅲ）令g（x）=alnx-x²+1+x，求出函數的導數，問題轉化為a≤2x²-x在（0，+∞）恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=alnx-x²+1，
求導得${f^'}（x）=\frac{a}{x}-2x（{x＞0}）$，
因為，在x=1處的切線方程為4x-y+b=0，
所以，f′（1）=a-2=4，得a=6，4-f（1）+b=0，b=-4．…（4分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{a}{x}-2x=\frac{{a-2{x^2}}}{x}（x＞0）$
當a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數．…（6分）
當a＞0時，${f^'}（x）=0，x=±\sqrt{\frac{a}{2}}$（舍負）
${f^'}（x）＞0⇒\sqrt{\frac{a}{2}}＞x＞0$，${f^'}（x）＜0⇒x＞\sqrt{\frac{a}{2}}$，
f（x）在$（0，\sqrt{\frac{a}{2}}）$上是增函數，在$（\sqrt{\frac{a}{2}}，+∞）$上是減函數；             …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若a＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數，
不妨設x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，
即f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁即f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂，
只要滿足g（x）=f（x）+x在（0，+∞）為減函數，…（10分）
g（x）=alnx-x²+1+x，${g^'}（x）=\frac{a}{x}-2x+1≤0$
即a≤2x²-x在（0，+∞）恒成立，…（11分）
a≤（2x²-x）_min，
${（2{x^2}-x）_{min}}=-\frac{1}{8}$，
所以$a≤-\frac{1}{8}$．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．