Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}$x，x∈R．
（1）求$f（\frac{4π}{3}）$；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 首項根據(jù)二倍角公式和輔助角公式得到：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）將$f（\frac{4π}{3}）$代入函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值進行解答；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質進行解答．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
（1）$f（\frac{4π}{3}）=sin（\frac{8π}{3}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$；
（2）f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$，
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]$，k∈Z．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．