Question

9．已知數列{a_n}是一個等差數列，且a₂=1，a₅=-5．
（1）求{a_n}的通項a_n；
（2）求{a_n}前n項和S_n的最大值；
（3）設b_n=$\frac{1}{（4-{a}_{n}）（4-{a}_{n+1}）}$，數列{b_n}的前n項的和記為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}的公差為d，由題意和等差數列的通項公式列出方程組，求出a₁和d，代入等差數列的通項公式求出a_n；
（2）由（1）和等差數列的前n項和公式求出S_n，利用配方法化簡后，由二次函數的性質求出S_n的最大值；
（3）由（1）化簡b_n，利用裂項相消法求出前n項的和T_n．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公差為d，…（1分）
由已知條件得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=1}\\{{a}_{1}+4d=-5}\end{array}\right.$，…（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=-2}\end{array}\right.$  …（3分）
所以a_n=3+（n-1）•（-2）=-2n+5；…（4分）
（2）由（1）得，S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3-2n+5）}{2}$
=-n²+4n=-（n-2）²+4．…（6分）
所以當n=2時，S_n取到最大值是4；  …（8分）
（3）由（1）得，b_n=$\frac{1}{（4-{a}_{n}）（4-{a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），…（10分）
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$----（12分）

點評 本題考查等差數列的通項公式，等差數列的前n項和公式以及最值問題，以及裂項相消法求數列的和，考查方程思想，化簡、變形能力．