Question

17．已知橢圓的左、右焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），且過點（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）、求橢圓的方程；
（2）、過橢圓的右焦點作斜率為$\sqrt{3}$直線l交橢圓于M，N兩點，求弦MN的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），由兩點之間的距離公式可知：2a=4，即a=2，c=$\sqrt{3}$，則b²=a²-c²=4-3=1即可求得橢圓的標準方程；
（2）直線l過橢圓的右焦點$（{\sqrt{3}，0}）$，且斜率為$\sqrt{3}$，設l的方程為：$y=\sqrt{3}x-3$，代入橢圓方程，由韋達定理${x_1}+{x_2}=\frac{24}{13}\sqrt{3}，{x_1}{x_2}=\frac{32}{13}$，由弦長公式可知：$|{MN}|=\sqrt{1+3}\sqrt{{{（{\frac{24}{13}\sqrt{3}}）}^2}-4×\frac{32}{13}}=\frac{16}{13}$，即可求得弦MN的長．

解答 解：（1）已知橢圓的左、右焦點分別為${F_1}（{-\sqrt{3}，0}），{F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，
可知橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
橢圓經過點$（{1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
則由橢圓的定義可知：$2a=\sqrt{{{（{1+\sqrt{3}}）}^2}+{{（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}}+\sqrt{{{（{1-\sqrt{3}}）}^2}+{{（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}}=\sqrt{\frac{19}{4}+2\sqrt{3}}+\sqrt{\frac{19}{4}-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{19}{2}+2\sqrt{{{（{\frac{19}{4}}）}^2}-{{（{2\sqrt{3}}）}^2}}}=4$，
∴a²=4，c²=3，
由b²=a²-c²=4-3=1，
則b²=1…（4分）
∴橢圓的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；…（5分）
（2）直線l過橢圓的右焦點$（{\sqrt{3}，0}）$，且斜率為$\sqrt{3}$，
設l的方程為：$y=\sqrt{3}x-3$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-3\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，得$13{x^2}-24\sqrt{3}x+32=0$，…（7分）
已知直線和橢圓交于M，N兩點，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{24}{13}\sqrt{3}，{x_1}{x_2}=\frac{32}{13}$，…（9分）
∴由弦長公式可知：$|{MN}|=\sqrt{1+3}\sqrt{{{（{\frac{24}{13}\sqrt{3}}）}^2}-4×\frac{32}{13}}=\frac{16}{13}$，…（11分）
∴弦MN的長為$\frac{16}{13}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的定義及標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．