Question

12．設F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1的兩個焦點，點P在橢圓上，當△F₁PF₂的面積為2時，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． 0
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：設P（x，y），F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，根據三角形的面積公式可知：SS=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$||y|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y|=$\sqrt{3}$|y|=2，代入橢圓方程，即可x²=$\frac{8}{3}$，因此$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-3=0，即可求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1焦點在x軸上，a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，
設P（x，y），F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，
∵△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$||y|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y|=$\sqrt{3}$|y|=2，
∴y²=$\frac{2}{3}$，
由于點P在橢圓上，
∴$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1x，
則x²=$\frac{8}{3}$，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-3=0，
故選：B．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查向量數量積的坐標標準，焦點三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．