Question

16．2015年春晚上，有一種旋轉舞臺燈，其外形呈正四棱柱，每個側面上安裝了5只不同的彩燈，每只彩燈發光的概率為$\frac{1}{2}$，若每個側面上至少3只彩燈正常發光，則該側面不需要維修，否則需要維修．
（Ⅰ）求恰有兩個側面需要維修的概率；
（Ⅱ）設四個側面的維修費分別為100元、100元、200元、200元，記需要維修的費用為X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （I）某個側面需要維修的概率=${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{1}×（\frac{1}{2}）^{5}$+$（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{2}$，可得恰有兩個側面需要維修的概率=${∁}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{4}$．
（II）由題意可知：X的可能取值為0，100，200，300，400，500，600．利用互斥事件與二項分布列的概率計算公式即可得出．

解答 解：（I）某個側面需要維修的概率=${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{5}$+${∁}_{5}^{1}×（\frac{1}{2}）^{5}$+$（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{2}$，
故恰有兩個側面需要維修的概率=${∁}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{3}{8}$．
（II）由題意可知：X的可能取值為0，100，200，300，400，500，600．
其分布列為：

X	0	100	200	300	400	500	600
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

故E（X）=$\frac{0+100×2+200×3+300×4+400×3+500×2+600×1}{16}$=300．

點評 本題考查了互斥事件與二項分布列的概率計算公式、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．