Question

11．某種證件的獲取規則是：參加科目A和科目B的考試，每個科目考試的成績分為合格與不合格，每個科目最多只有2次考試機會，且參加科目A考試的成績為合格后，才能參加科目B的考試；參加某科目考試的成績為合格后，不再參加該科目的考試，參加兩個科目考試的成績均為合格才能獲得該證件．現有一人想獲取該證件，已知此人每次參加科目A考試的成績為合格的概率是$\frac{2}{3}$，每次參加科目B考試的成績為合格的概率是$\frac{1}{2}$，且各次考試的成績為合格與不合格均互不影響．假設此人不放棄按規則所給的所有考試機會，記他參加考試的次數為X．
（Ⅰ）求X的所有可能取的值；
（Ⅱ）求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）X的所有可能取的值是2，3，4．
（Ⅱ）設A_i表示事件“參加科目A的第i（i=1，2）次考試的成績為合格”，B_i表示事件“參加科目B的第i（i=1，2）次考試的成績為合格”，且A_i，B_i相互獨立（i=1，2），利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式及其數學期望即可得出．

解答 解：（Ⅰ）X的所有可能取的值是2，3，4．
（Ⅱ）設A_i表示事件“參加科目A的第i（i=1，2）次考試的成績為合格”，B_i表示事件“參加科目B的第i（i=1，2）次考試的成績為合格”，且A_i，B_i相互獨立（i=1，2），
那么$P（{A_1}）=P（{A_2}）=\frac{2}{3}$，$P（{B_1}）=P（{B_2}）=\frac{1}{2}$．$P（X=2）=P（{A_1}）P（{B_1}）+P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{4}{9}$，
$P（X=3）=P（\overline{A_1}）P（{A_2}）P（{B_1}）+P（{A_1}）P（\overline{B_1}）P（{B_2}）+P（{A_1}）P（\overline{B_1}）P（\overline{B_2}）$=$（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}）=\frac{4}{9}$，
$P（X=4）=P（\overline{A_1}）P（{A_2}）P（\overline{B_1}）P（{B_2}）+P（\overline{A_1}）P（{A_2}）P（\overline{B_1}）P（\overline{B_2}）$=$（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}+（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}=\frac{1}{9}$．
∴X的分布列為：

X	2	3	4
p	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

∴$EX=2×\frac{4}{9}+3×\frac{4}{9}+4×\frac{1}{9}=\frac{8}{3}$．
故X的數學期望為$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．