Question

6．在四面體ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M為AB中點，則CM與平面ABD所成角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，取BD的中點O，連接OA，OC，利用等腰三角形的性質可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空間直角坐標系．又AB⊥AD，可得DB=$\sqrt{2}$．取平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），CM與平面ABD所成角的正弦值=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$．

解答 解：如圖所示，取BD的中點O，連接OA，OC，
∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．
又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．
建立空間直角坐標系．又AB⊥AD，∴DB=$\sqrt{2}$．
∴O（0，0，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），M（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
取平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴CM與平面ABD所成角的正弦值=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了空間線面位置關系、向量夾角公式、等腰三角形的性質，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．